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Vollständige Version anzeigen : Mathe GK Klasse 12 Problem



Andreas
04-11-2009, 14:16
Hi,
ich war leider die letzten 2 Wochen mit Bronchitis zu Hause und konnte deshalb nicht zur Schule gehen und schreibe nun in 2 Tagen nen Mathe Test und in einer Woche die Arbeit. Nun Habe ich mir alles mal angeschaut und blicke da überhaupt nicht durch. Könnt ihr mir vielleicht bei folgender Aufgabe helfen?

Eine Schreinerei hat sich auf die Produktion bestimmer Fernsehschränke spezialisiert. Ihre Kapazität läßt eine Herstellung von maximal 300 Schränken pro Monat zu. Ein Zwischenhändler nimmt alle produzierten Fernsehschränke ab und zahlt 383€ pro Schrank.
In der Schreinerei fallen monatliche Kosten von 8000€ an, die von der Menge x abhänigen variablen Kosten V(x) genügen der folgenden Gleichung:

V(x)=0,01X³ - 3x² +320x

a) stellen sie die Kostenfunktion (K(x);D), Die Unsatzfunktion (U(x), D ), Die Gewinnfunktion (G(x);D) die Stückkostenfunktion (K(x) /x ; D) und die Grenzkostenfunktion (K´(x);D) auf.

b) für welche Próduktionsmenge wird der Gewinn maximal? Wie groß ist dann der Gewinn?Für welche Menge werden die Grenzkosten minimal?

Das ist das was ich bisher zurecht gepfuscht habe, ich hoffe das ihr mir da weiterhelfen könnt (bitte auch auf die Formulierungen achten unser Lehrer legt da großen Wert drauf)

a) Kostenfunktion
Es gilt D:0<x>300

K(x)= 0,01X³ – 3x² +320 + 8000

b) Umsatzfunktion

Keine Ahnung wie ich zu der komme, laut Notizen sind sie aber 383x (kann das überhaupt stimmen?)

c)Gewinnfunktion
G(x)=U(x)-K(x) = ???? Keine Ahnung, weiss nicht sicher was U(x) ist.

d)Stückkostenfunktion
K(x)/x=St(x) = 0,01x²-3x+320/x+8000/x

^^kann das stimmen?

Grenzkostenfunktion
K´(x)=L(x)
L.x)= 0,03x²-6

^^richtig?

b) Gewinnmaximal
G´=-0,03 x² +6x

weiter komme ich nicht, ich weiß dass ich noch irgendwas von ausreichenden und hinreichenden Bedinungen schreiben muss und Vorzeichenwechsel da steig ich aber nicht hinter. Ist zwar viel Arbeit aber wäre super wenn sich einer von euch das mal anguckt, kann mir keine schlechte Note leisten

noppel
04-11-2009, 14:35
zu a)

kosten haste richtig aufgestellt...
K(x)= 0,01X³ – 3x² +320 + 8000
also die summe aus den festen kosten (8000€) und den kosten pro stück (V(x)=0,01X³ - 3x² +320x)


Umsatz stimmt auch...

U(x)= 383X

also pro gerät kriegt die firma 383€ vom händler


der gewinn ist die differenz aus umsatz und kosten

also
G(x)=U(x)-K(x) = 383X - (0,01X³ – 3X² +320X + 8000 ) = -0,01X³ + 3X² +63X - 8000 €

die grenzkostenfunktion ist (vermute ich) die, wo der gewinn gerade 0 ist...

also die nullstelle der gewinnfunktion
G(X) = 0 = -0,01X³ + 3X² +63X - 8000 € für welches x?

gewinn maximal ist die ableitung der gewinnfunktion

G'(X) = -0,03X² +6X +63

wenn du die 0 setzt, wirst du wohl mehrere lösungen erhalten...

die im bereich 0<X<300 ist gesucht... dann musst du noch G'' bilden und die extremstelle einsetzen, um zu sehen obs n maximum ist

G''(X) = -0,06X + 6

Andreas
04-11-2009, 14:42
zu a)

kosten haste richtig aufgestellt...
K(x)= 0,01X³ – 3x² +320 + 8000
also die summe aus den festen kosten (8000€) und den kosten pro stück (V(x)=0,01X³ - 3x² +320x)


Umsatz stimmt auch...

U(x)= 383X

also pro gerät kriegt die firma 383€ vom händler


der gewinn ist die differenz aus umsatz und kosten

also
G(x)=U(x)-K(x) = 383X - (0,01X³ – 3X² +320X + 8000 ) = -0,01X³ + 3X² +63X - 8000 €

die grenzkostenfunktion ist (vermute ich) die, wo der gewinn gerade 0 ist...

also die nullstelle der gewinnfunktion
G(X) = 0 = -0,01X³ + 3X² +63X - 8000 € für welches x?

gewinn maximal ist die ableitung der gewinnfunktion

G'(X) = -0,03X² +6X +63

wenn du die 0 setzt, wirst du wohl mehrere lösungen erhalten...

die im bereich 0<X<300 ist gesucht... dann musst du noch G'' bilden und die extremstelle einsetzen, um zu sehen obs n maximum ist

G''(X) = -0,06X + 6

Ah super DANKE!!!!

Eine Frage habe ich nur noch. Die Umsatzfunktion habe ich einfach abgeschrieben wie rechne ich die denn aus? Und habe ich die Stückkosten auch richtig berechnet?

Kudos
04-11-2009, 14:47
die grenzkostenfunktion ist (vermute ich) die, wo der gewinn gerade 0 ist...

also die nullstelle der gewinnfunktion

wo die Kosten minimal (am besten natürlich 0) sind. Also Tiefpunkt der Kostenfunktion ermitteln.

MCFly
04-11-2009, 14:59
Jupp, sieht richtig aus, was noppel schreibt:

Ist ne einfache Anwendung der Differentialrechnung, du musst nur checken, wann du was anzuwenden hast ;)

Wie schon gesagt:

Definitionsmenge ist offenbar R [0;300]

Gewinn ist = Erlös - Kosten, oder hier = Umsatz [U(x)] - Kosten [K(x)]. Deren Zusammensetzung haste ja richtig erkannt.

Grenzkosten seh ich auch wie noppel. Musste wie folgt überlegen:

Werden die Grenzkosten überschritten, lohnt es sich für das Unternehmen nicht mehr, zu produzieren, da die Produktionskosten den Erlös übersteigen. Kurz ausgedrück: U(x) < K(x). Die Grenzkosten umschreiben genau den Wert, der Kosten und Umsatz egalisiert. Klar soweit?

Also einfach die Gleichung von noppel auflösen ;)

Dann einfach die Extremwerte bilden. Ein Graph weist (lokale?) Extremwerte auf, wenn die Steigung den Wert 0 besitzt, also ermittelst du die Nullstelle der ersten Ableitung.

Zum Schluss nur noch prüfen, wo G'' < 0 ist, dann haste das Maximum. Fertisch ;)

Das ist auch schon alles, oder hamer watt vergessen... nö :D

noppel
04-11-2009, 15:03
Ah super DANKE!!!!

Eine Frage habe ich nur noch. Die Umsatzfunktion habe ich einfach abgeschrieben wie rechne ich die denn aus? Und habe ich die Stückkosten auch richtig berechnet?

die umsatzfunktion steht hier im text:


Ein Zwischenhändler nimmt alle produzierten Fernsehschränke ab und zahlt 383€ pro Schrank.

MCFly
04-11-2009, 15:05
wo die Kosten minimal (am besten natürlich 0) sind. Also Tiefpunkt der Kostenfunktion ermitteln.

Nee, die Grenzkosten umschreiben genau die Produktionsmenge, an der sich Kosten und Gewinn aufheben...

noppel
04-11-2009, 15:09
Nee, die Grenzkosten umschreiben genau die Produktionsmenge, an der sich Kosten und Gewinn aufheben...

ich weiß nicht, ob das so gegeben war, aber der TE schrieb


Grenzkostenfunktion
K´(x)=L(x)

was ja dann doch das minimum wäre wie kudos sagt...

aber ich will mich da nicht streiten... ich bin nur rechenknecht und kein wirtschaftler

MCFly
04-11-2009, 15:14
Kommt auf die Betrachtungsweise an. Naja, in einem Punkt den Lehrer zu fragen, mag ja nicht schaden :D

Kudos
04-11-2009, 15:58
Nee, die Grenzkosten umschreiben genau die Produktionsmenge, an der sich Kosten und Gewinn aufheben...

Was bedeutet "sich aufheben" mathematisch? Äquivalenz? D.h. Kosten = Gewinn? Nein, dann hast Du Unrecht.


Anders ausgedrückt:

"Grenzkosten sind Kosten, die durch die Erstellung einer zusätzlichen Leistungseinheit über die bisherigen Kosten hinaus entstehen (jedoch nur solange, als sich die Leistungserstellung im Rahmen einer Kapazitätsstufe bewegt).

Um wieviel verändern sich die Kosten, wenn ein zusätzliches Stück produziert wird?

Grenzkosten sind der Kostenzuwachs, der durch die Mehrproduktion
einer Ausbringungseinheit entsteht.

Oder:
Grenzkosten sind die Minderkosten, die durch Verzicht auf die letzte
Ausbringungseinheit realisiert werden können."

Quelle: Grenzkosten - Wirtschaftslexikon (http://www.wirtschaftslexikon24.net/d/grenzkosten/grenzkosten.htm)


Also, wie der TE schon vorgegeben hat K' und in meinen letzten Satz gehört noch "... Ableitung... " rein bzw. Grenzkostenfunktion.

MCFly
04-11-2009, 17:40
Ja, ich dachte, dass bei der Grenzkostenermittlung die Menge ermittelt wird, für die gilt: G(x) = 0. Diese dann in K(x) einsetzen und dann hätte man den Kostenbetrag.

Aber offensichtlich habe ich mich geirrt und es geht tatsächlich um die Untersuchung einer marginalen Kostenänderung. Dann ist also tatsächlich Gesamtkostenfunktion abzuleiten. ;)

Kudos
04-11-2009, 18:08
@Threadersteller:
Bist Du eigentlich auf einem normalen Gymnasium oder ist das BWL-orientiert?

Ich wundere mich, weil wir solche Aufgaben damals, vor Urzeiten als ich noch Schüler war :rolleyes: nicht bei uns hatten. Dafür hat's jetzt eine hohe Praxisrelevanz bei mir...

Andreas
04-11-2009, 18:46
Nö. Mache zwar Abi auf dem 2ten Bildungsweg schreiben aber das stinknormale Zentralabitur - wie alle anderen auch.