Frage an Mathematiker/Physiker

[freakyboy]

Hallo Leute,

habe eine Frage und hoffe, dass mir hier vielleicht einer weiterhelfen kann. Hab via Google nicht wirklich was gefunden. Also es dreht sich um einen Tensor 2. Stufe. Ich will diesen mit Hilfe des Eigenwertproblems auf die Hauptachsen transformieren. Bei einem symmetrischen Tensor bekomme ich 3 reelle Eigenwerte und die dazugehörigen Eigenvektoren. Was ist denn wenn ich nicht 3 unterschiedliche Eigenwerte habe, sondern einen doppelten bzw. dreifachen. Ich kann mir das bei einem doppelten so vorstellen, dass der Eigenvektor vom einzelnen EW eine Hauptrichtung vorgibt und die anderen beiden dann quasi alle orthogonalen Vektoren sein können die in der Ebene liegen, welche durch den ersten Vektor vorgegeben wird. Wie sieht das dann quasi bei einem dreifachen aus? Kann ich da dann einfach den ersten schon beliebig wählen und die anderen beiden sind dann auch irgendwelche beliebigen in der vorgegebenen Ebene. Müssen ja nur die Orthogonalitätsbedingung erfüllen!?

Und was passiert, wenn ich einen nicht symmetrischen Tensor haben und somit komplexe Eigenwerte bekomme? In meinem Fall (Mechanik) bedeuten die Eigenwerte die Streckungen in den Hauptrichtungen. Also wenn ich z.B. nen Eigenwert von 3 habe wird das Element um den Faktor 3 in die Hauptrichtung gestreckt. Aber was ist nun wenn ich einen komplexen Eigenwert habe? Was bedeutet das? Vorallem wie kann man sich das physikalisch vortellen?

[Inumeg]

Direkt Beantworten kann ich dir das zwar nicht, aber vielleicht hilft dir beim Verständnis eine andere Sichtweise:
Eigenwerte/-vektoren sind Eigenschaften von mehrdimensionalen Abbildungen in Vektorräumen. Du steckst einen Vektor in die Abbildung und bekommst einen neuen heraus, dessen Komponenten Linearkombinationen des Ausgangsvektors sind.
Ein Eigenvektor ist nun einer, welcher nur in seine eigene Richtung linear um den Eigenwert gestreckt wird. liegt der Eigenwert doppelt vor und gibt es zwei Eigenvektoren, so spannen diese eine Ebene auf, aus der alle Vektoren linear in ihre Richtung gestreckt werden. Bei drei entsprechend analog als Raum. Sofern Anzahl der Vektoren nicht mit der Vielfachheit der EWs übereinstimmt, wird's etwas komplizierter (vgl Jordan-Normalform). Aber das hab ich nicht mehr im Kopf :p

HTH

[freakyboy]

Direkt Beantworten kann ich dir das zwar nicht, aber vielleicht hilft dir beim Verständnis eine andere Sichtweise:
Eigenwerte/-vektoren sind Eigenschaften von mehrdimensionalen Abbildungen in Vektorräumen. Du steckst einen Vektor in die Abbildung und bekommst einen neuen heraus, dessen Komponenten Linearkombinationen des Ausgangsvektors sind.
Ein Eigenvektor ist nun einer, welcher nur in seine eigene Richtung linear um den Eigenwert gestreckt wird. liegt der Eigenwert doppelt vor und gibt es zwei Eigenvektoren, so spannen diese eine Ebene auf, aus der alle Vektoren linear in ihre Richtung gestreckt werden. Bei drei entsprechend analog als Raum. Sofern Anzahl der Vektoren nicht mit der Vielfachheit der EWs übereinstimmt, wird's etwas komplizierter (vgl Jordan-Normalform). Aber das hab ich nicht mehr im Kopf :p

HTH

Ah ok, ich hätte nun nicht gedacht, dass dann alle Vektoren aus der Ebene um den EW gestreckt werden. Aber was macht das eigentlich dann für einen Sinn diese zu bestimmen? Folgendes Beispiel dazu: Nehmen wir an ich habe ein ganz normales Koordinatensystem. Also x-,y-,z-Achse. Der einzelne EW fällt quasi mit der z-Achse zusammen. Dann habe ich ja unterschiedliche Möglichkeiten wie die anderen beiden liegen können. Entweder der eine zeigt in die positive x-Achse und der andere in die positive y-Achse. Nun könnte aber auch einer in die positive x-Achse zeigen und der zweite in die negative y-Achse. Somit würde ja auch eine Ebene aufgespannt werden. Aber halt eine völlig andere. Das würde dann doch aber was physikalisch was vollkommen anderes beschreiben?

Und wie schaut das mit dem komplexen EW/EV aus? Was bedeutet das?

[Inumeg]

Somit würde ja auch eine Ebene aufgespannt werden. Aber halt eine völlig andere. Das würde dann doch aber was physikalisch was vollkommen anderes beschreiben?


Mathematiker-Antwort: Nö, das ist nach Koordinatentransformation alles das gleiche.
Physiker-Antwort: Keine Ahnung, bin kein Physiker und Tensoren hab ich im Studium gemieden :p



Und wie schaut das mit dem komplexen EW/EV aus? Was bedeutet das?

Mathematiker-Antwort: Kommt drauf an, über welchem Vektorraum du deinen Tensor/deine Abbildung definierst. Über den komplexen zahlen (macht man ja gerne in der E-Technik) macht es keinen Unterschied in der Anschauung. Über den reellen Zahlen heißt das, dass es hier eigentlich keinen Eigenwert gibt. Da kommt dann die Jordan-Normalform zum Zuge.
Physiker-Antwort: s.o.

[freakyboy]

Es handelt sich um den Euklidischen Raum. Also wird es wohl so sein, dass es einfach keinen EW/EV gibt.

Keine Ahnung was Jordan-Normal-Form ist. Sowas ist mir in meinem Studium noch nie untergekommen ^^

Aber dank dir, das hat mir schon weitergeholfen :)

[freakyboy]

Ich hau nochmal eine Frage dazu hier rein. Warum sind folgende Ausdrücke äquivalent?

(F*da1)x(F*da2) = (detF)(F^(T))^(-1)*(da1 x da2) ?

F: 2. stufiger Tensor
da1/2: Vektor
x: Kreuzprodukt
*: skalare Multipilation
T: Transposition
det: Determinante

Ich versteh halt net wo die Determinate aufeinmal herkommen soll? :D