Analysis, Integrale und Rechtecke [Archiv]

Vollständige Version anzeigen : Analysis, Integrale und Rechtecke

Budoka_Dante

21-04-2009, 13:15

Hallo Leute und Mathecracks :p

Ich quäl mich jetzt schon etwas länger mit dem Gedanken, wie man folgende Aufgabe lösen soll:

Bestimme unter allen achsenparallelen rechtecken innerhalb der in Teilaufgabe b) beschriebenen Fläche dasjenige mit dem größten Flächeninhalt
Die genannte Fläche wird vom Graphen f(x)=x^3 - 3*x^2 + 4 und den beiden Achsen eingeschlossen. Die Grenzen sind x=0 und X=2. (0l4) ist ein Maximum, (2l0) ein Minimum des Graphen, bei (1l2) ist ein Wendepunkt.

Ich habe echt keinen Plan :o

gion toji

21-04-2009, 14:04

es muss x^3-3*x^2+4 heissen, sonst passt es nicht mit den Minima

Ansonsten: Fläche des Rechtecks unter dem Graphen: A = f(x)*x
dann dA/dx gleich 0 setzen, x ausrechnen, fertig
müsste irgendwo kurz vor 1 sein

Budoka_Dante

21-04-2009, 14:09

es muss x^3-3*x^2+4 heissen, sonst passt es nicht mit den Minima

Huch, vertippt. Habs editiert. Aber du weißt doch bestimmt auch den Lösungsweg, oder zumindest den Ansatz? :o

WannaBeBruceLee

21-04-2009, 14:13

also wenn ich das richtig verstanden hab müsste es so gehen,
Rechteck
A=a*b
in der Aufgabe
A=f(x)*x x [0,2]
Amax ist gesucht
u'(f(x)*x)=0
also ein einfaches extremalproblem bei dem du die nullstellen bestimmen musst

Eine nullstelle sollte im intervall liegen, dann schauen ob das auch ein max. ist z.B. via Vzw

Budoka_Dante

21-04-2009, 14:19

WannaBeBruceLee

21-04-2009, 14:19

x muss doch ein element aus dem intervall [0,2] sein
oder hab ich
Die Grenzen sind x=0 und X=2
falsch verstanden?

Budoka_Dante

21-04-2009, 14:31

x muss doch ein element aus dem intervall [0,2] sein
oder hab ich
falsch verstanden?

Achso, jetzt weiß ich was du meinst. Kannte die Schreibweise so in etwa gar nicht.

==========================
Habe jetzt die Funktion A(x)= f(x) * x abgeleitet. Von der Ableitung die Nullstellen (3 Stück) bestimmt. Eine ist zwischen 0 und 2 (x=0,84..). In die 2. Ableitung eingesetzt, der Wert ist negativ, also ist dort ein Maximum der Fläche.

Das Rechteck mit dem maximalen Flächeninhalt innerhalb der eingeschlossenen Fläche hat die Seitenlängen 0,84307 LE (x) und 2,46693 LE (f(x)), und damit einen Flächeninhalt von 2,07979 FE. Man bin ich gut :cool:

:thx:

WannaBeBruceLee

21-04-2009, 14:32

jo genau so meinte ich das :o
na dann ist ja alles erste sahne:zwinkern:

Budoka_Dante

21-04-2009, 14:47

jo genau so meinte ich das :o
na dann ist ja alles erste sahne:zwinkern:

Das sage ich dir morgen Mittag, nach dem Matheabi :p
Wobei....einen hätt ich noch.

=========================
Die Aufgabe muss ich mir jetzt aber ausdenken.
"Bestimmte alle Punkte, die den Abstand 3 von der Ebene E haben."

Man hat eine Ebene E: http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{x}=\vec{p}+\lambda%20\vec{u}+\mu\ve c{v}

Und zu dieser Ebene alle Punkte, die zB den Abstand 3 haben errechnen.
Mir fällt da nur ein etwas umständlicherer Weg ein:

Man multipliziert den Normalenvektor der Ebene mit k, sodass die Länge insgesamt 3 ist.

Das hängt man dann an die Ebene:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{x}=\vec{p}+\lambda%20\vec{u}+\mu\ve c{v}+k\vec{n}

Für k hat man ja gerade einen Betrag errechnet. Für Lambda und Mü setzt man beliebige Werte ein, sodass man (je nach Vorzeichen von k) 2 Punkte kriegt, die 3 LE von E entfernt sind. Mit dem Normalenvektor und dem Stützvektor dieser Punkte tüftelt man sich dann zwei Ebenen, die parallel zu E sind.
Voilà, alle Punkte die den Abstand 3 von E haben.

Edit: Eine zu beantwortende Frage vielleicht noch:
Gibt es da nicht einen einfacheren, kürzeren Weg? Bei selbstausgedachten Methoden bin ich eher skeptisch :o

WannaBeBruceLee

21-04-2009, 14:50

:o
da muss ich leider passen, ebenen und vektoren, alles noch nicht gehabt

gion toji

21-04-2009, 15:12

@ Ebenen: scheint mir der einzige Weg zu sein. k*n und -k*n sind ja konstante Vektoren, die addierst du dann zu p dazu - fertig

chillakilla

21-04-2009, 15:16

Achso, jetzt weiß ich was du meinst. Kannte die Schreibweise so in etwa gar nicht.

==========================
Habe jetzt die Funktion A(x)= f(x) * x abgeleitet. Von der Ableitung die Nullstellen (3 Stück) bestimmt. Eine ist zwischen 0 und 2 (x=0,84..). In die 2. Ableitung eingesetzt, der Wert ist negativ, also ist dort ein Maximum der Fläche.

Das Rechteck mit dem maximalen Flächeninhalt innerhalb der eingeschlossenen Fläche hat die Seitenlängen 0,84307 LE (x) und 2,46693 LE (f(x)), und damit einen Flächeninhalt von 2,07979 FE. Man bin ich gut :cool:

:thx:

Wie hast du die Nullstellen berechnet? Die einfachen Methoden gehen ja irgendwie nicht.

Budoka_Dante

21-04-2009, 16:11

Wie hast du die Nullstellen berechnet? Die einfachen Methoden gehen ja irgendwie nicht.
Mit dem TI :p

Wo hakts denn bei dir?

@ Ebenen: scheint mir der einzige Weg zu sein. k*n und -k*n sind ja konstante Vektoren, die addierst du dann zu p dazu - fertig
Stimmt, ich könnte auch nur zu p dazu addieren, anstatt mit der ganzen Ebene rumzuwurschteln :o

chillakilla

21-04-2009, 16:18

hää? Du hast das einfach so in den Taschenrechner eingetippt?

Potz

21-04-2009, 16:27

hää? Du hast das einfach so in den Taschenrechner eingetippt?

Und falls ja: Dürft ihr das Teil im Abi benutzen?:p

chillakilla

21-04-2009, 16:31

Und falls ja: Dürft ihr das Teil im Abi benutzen?:p

Mein TI-30 eco RS kann das zumindest nicht oder ich bin echt dämlich und hab bei der Gleichung irgendwas übersehen.

Budoka_Dante

21-04-2009, 16:48

Mein TI-30 eco RS kann das zumindest nicht oder ich bin echt dämlich und hab bei der Gleichung irgendwas übersehen.
:rofl:

Niedlich. Wir dürfen ein "Computer Algebra System" benutzen, in meinem Fall wäre das ein TI 92 II (http://de.wikipedia.org/wiki/TI-92). Mit deinem Kinderspielzeug scheint mir das ziemlich hoffnungslos zu sein. Aber ich versuche es auch mal von Hand :soldat:

Entsprechende Aufgaben werden uns allerdings auch gestellt. Meistens kommt man mit Kopf- oder schriftlich rechnen nur sehr langsam, bzw gar nicht vorwärts.
Andererseits sind Aufgaben, die mit "rechnen sie ohne CAS" aufhören, Gang und Gebe.

WannaBeBruceLee

21-04-2009, 18:14

wir sind auch ne cas klasse daher gibts sone probleme eigentlich nicht.....
aber es geht trotzdem
f(x)*x=(x^3 - 3*x^2 + 4)*x
das ganze abgeleitet ist dann
4*x^3-9*x^2+4
jetzt ist die frage wie man zu den nullstellen kommt,
also wir haben gelernt, da man hier weder substituieren noch sonst irgendwas machen kann zu raten:o, da hier alle faktoren ganzzahlig sind fängt man mit teilern des absoluten gliedes an(4) also +-1,+-2 und +-4
32-36+4 wenn man 2 einsetzt also ist 2 schonmal ne nullstelle
also macht man ne polynomdivision
ableitung : x - geratene nullstelle
(4*x^3-9*x^2+4):x-2
hier kommt
4x^2-x-2 raus
das ist eine quadratische gleichung -> pq formel
da kriegt man dann die beiden nächsten nullstellen
-0.593 und 0.843 raus
aber sollte man cas nicht zur hand haben ist das natürlich recht umständlich und müsste auch entsprechend mehr punkte geben :)

Budoka_Dante

21-04-2009, 18:20

und müsste auch entsprechend mehr punkte geben :)
Wenn du den Rechner nicht (dabei) hast, obwohl er erlaubt ist, bist du selber Schuld und bekommst für umständlichere Rechenwege keine Bonuspunkte :rotfltota

Mal davon abgesehen, habe ich außer "Polynomdivision" kein Wort verstanden.

WannaBeBruceLee

21-04-2009, 18:26

ne ich meinte falls in chillakillas klasse cas rechner nicht erlaubt
wären, dann wäre die aufgabe mehr punkte wert als mit.

das wenn man cas benutzen darf es aber nicht dabei hat ist man natürlich selber schuld :rotfltota

Ir-khaim

21-04-2009, 18:29

Das sage ich dir morgen Mittag, nach dem Matheabi :p
Wobei....einen hätt ich noch.

=========================
Die Aufgabe muss ich mir jetzt aber ausdenken.
"Bestimmte alle Punkte, die den Abstand 3 von der Ebene E haben."

Man hat eine Ebene E: http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{x}=\vec{p}+\lambda%20\vec{u}+\mu\ve c{v}

Und zu dieser Ebene alle Punkte, die zB den Abstand 3 haben errechnen.
Mir fällt da nur ein etwas umständlicherer Weg ein:

Man multipliziert den Normalenvektor der Ebene mit k, sodass die Länge insgesamt 3 ist.

Das hängt man dann an die Ebene:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{x}=\vec{p}+\lambda%20\vec{u}+\mu\ve c{v}+k\vec{n}

Für k hat man ja gerade einen Betrag errechnet. Für Lambda und Mü setzt man beliebige Werte ein, sodass man (je nach Vorzeichen von k) 2 Punkte kriegt, die 3 LE von E entfernt sind. Mit dem Normalenvektor und dem Stützvektor dieser Punkte tüftelt man sich dann zwei Ebenen, die parallel zu E sind.
Voilà, alle Punkte die den Abstand 3 von E haben.

Edit: Eine zu beantwortende Frage vielleicht noch:
Gibt es da nicht einen einfacheren, kürzeren Weg? Bei selbstausgedachten Methoden bin ich eher skeptisch :o

Ich würde die hessische Normalenform der Ebene bilden. Mit der kannst du den Abstand eines Punktes von der Ebene bestimmen. Die Gleichung also gleich 3 setzen und nach dem variablen Punkt auflösen. Das ergibt dann einen Aufpunkt einer Ebene mit dem Abstand 3. Das gleiche mit dem Normalenvektor der Ebene, der in die andere Richtung zeigt, und du bekommst den nächsten Aufpunkt. Mit den beiden Aufpunkten und dem Normalenvektor kannst du zwei neue Ebenen basteln.

Das sollte jetzt funktionieren nach der ganzen Editiererei :)

ne ich meinte falls in chillakillas klasse cas rechner nicht erlaubt
wären, dann wäre die aufgabe mehr punkte wert als mit.

das wenn man cas benutzen darf es aber nicht dabei hat ist man natürlich selber schuld :rotfltota

naja... also cas ist im Abi jetzt nicht unbedingt notwendig...

Da Mo

21-04-2009, 18:32

naja... also cas ist im Abi jetzt nicht unbedingt notwendig...

Von wegen... mir hätte nicht einmal gott himself mehr helfen können wenn ich Mathe im Abi gehabt hätte :ups::ups:

WannaBeBruceLee

21-04-2009, 18:42

naja... also cas ist im Abi jetzt nicht unbedingt notwendig...

:ups::ups:
aber jetzt hab ich doch schon so oft geschrieben das es drauf ankommt
in berlin gibts zwar zentralabitur aber auch hier
abiturprüfung mit cas als hilfsmittel
abiturprüfungen ohne cas

daher kann man auch nicht sagen cas ist nicht notwendig ;)
es ist erlaubt und die aufgaben sind anders/schwerer
es ist nicht erlaubt und die aufgaben sind leichter

Ir-khaim

21-04-2009, 18:48

abiturprüfung mit cas als hilfsmittel
abiturprüfungen ohne cas

Siehste :p Cas ist nicht notwendig - geht auch ohne ;)

Budoka_Dante

21-04-2009, 18:51

Wir müssen auch die meisten Sachen von Hand rechnen können. Polynomdivision müssten wir (theoretisch) auch können, hatten wir in der 12. Auch solche Aufgaben wie im Ausgangspost haben wir zunächst mit Hand gerechnet, bevor wir dann aufs CAS umgestiegen sind, um das Ganze etwas zu beschleunigen und den vom Kultusministerium geforderten Stoff durchzukriegen, und zwar auch so, dass die Leute, die keinen Schimmer von Mathe haben, ihn einigermaßen verstehen.
Hätt ich entsprechend geübt, wäre das für mich auch kein Problem, aber wohl die Hälfte des Kurses würde auf der Strecke bleiben.

PS: Hesse mochte ich noch nie. Aber....*schreib*

Um da einen Vektor rauszukriegen (aus der Hesse-Normalenform), nehme ich also
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{x}*\vec{n}/\left%20|\vec{n}\right%20|=3
ein.
nach http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{x} aufgelöst bekomme ich, wenn ich da richtig liege,
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{x}=3\left%20|%20\vec{n}%20\right%20 |/\vec{n}
bzw das LGS:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?x1%20=%203\left%20|%20\vec{n}%20\right%2 0|/n1
http://latex.codecogs.com/gif.latex?x2%20=%203\left%20|%20\vec{n}%20\right%2 0|/n2
http://latex.codecogs.com/gif.latex?x3%20=%203\left%20|%20\vec{n}%20\right%2 0|/n3

Und dann.....jaa.....dann....was kommt dann? :D

Ir-khaim

21-04-2009, 21:23

Budoka_Dante

22-04-2009, 14:20

Ich nehme an mit n/|n| meinst du die Normierung von n?

Die hessische Normalenform, die du benutzt, gibt den Abstand der Ebene vom Ursprung an.
Man könnte sie auch schreiben als

(x-p)*n/|n|=3

p ist Aufpunkt der Ebene. DAS löst du nach x auf und bekommst einen Punkt, der den Abstand 3 von deiner Ebene hat. Dann musst du auch nicht so komische Sachen machen, wie durch Vektoren teilen ;) Das ist nämlich Käse...

Alle Variablen sind Vektoren.

So so...

==========
Mathe Abi ist geschrieben. Kam natürlich keine von den (hier) besprochenen Aufgabentypen dran, aber was solls :D

Folgendes würde mich noch interessieren.

Man nehme einen Würfel W
http://img412.imageshack.us/img412/1439/wrfel.th.png (http://img412.imageshack.us/my.php?image=wrfel.png)

Und eine Ebene http://latex.codecogs.com/gif.latex?E_{a}
n * x = a
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{n} entspricht dabei dem Vektor http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{BE}, sprich beim variieren von a gleitet die Ebene da entlang. Dabei teilt sie den Würfel in 2 Teilstücke http://latex.codecogs.com/gif.latex?T_{1} und http://latex.codecogs.com/gif.latex?T_{2}.
Das Volumen des gesamten Würfels berechnet sich ja mit dem Spatprodukt, aber wie berechne ich die Volumina von http://latex.codecogs.com/gif.latex?T_{1} und http://latex.codecogs.com/gif.latex?T_{2} in Abhängigkeit von a?
In der Aufgabe sollten wir a so bestimmen, dass das Verhältnis
http://latex.codecogs.com/gif.latex?T_{1}%20:%20T_{2}%20=%202%20:%207
gegeben ist...

Ich hatte in etwas so eine Ahnung: {}

:o

Hachimaki

22-04-2009, 14:58

hessische Normalenform

:megalach:

chillakilla

22-04-2009, 15:05

Also ich geh einfach mal davon aus, dass ich auf Polynomdivision, Newton-Verfahren und Gaußschen Algorythmus verzichten kann. Dürfte zumindest sehr unwahrscheinlich sein.:)
Kam so was bei dir dran, Bodo?

Ir-khaim

22-04-2009, 15:11

Ich kann ja mal versuchen, die leere Menge etwas aufzufüllen und fabulier einfach mal ins Blaue hinein:

Wenn du den Würfel mit der Ebene im Verhältnis 2/7 teilst, bekommst du zwei Körper. Der kleinere ist ein Prisma mit dreieckiger Grundfläche und hat ein Volumen von 2/9 des Würfelvolumens. Das Würfelvolumen kannst du ausrechnen. Also kennst du auch das Volumen dieses Prismas.

Wenn du jetzt deine Ebene an BE entlang verschiebst, ist der BE Abschnitt die Höhe des Dreiecks, das die Grundfläche des Prismas ist. Da du dessen Höhe und Volumen kennst, kannst du so die Länge des BE Abschnitts bestimmen und weißt dementsprechend, wo die Ebene liegen muss :)

Das ist noch sehr abstrakt, aber so ungefähr könnte es funktionieren.

Und ja... es ist die hesse'sche Normalenform ;)

Budoka_Dante

22-04-2009, 15:36

Da Mo

22-04-2009, 15:39

ja... Die hesse'sche, nicht die hessische :p

Das ist das einzige an was ich mich noch vom Matheunterrricht errinere

Budoka_Dante

26-04-2009, 18:56

Für Chilla:

Es gibt 3 Ebenenformen.
Die Parameterdarstellung, die Normalenform (bzw hessesche) und die Koordinatenform, wobei Normalen- und Koordinatenform sich nicht gerade viel nehmen.
Parameterdarstellung
http://latex.codecogs.com/gif.latex?E:%20\vec{x}=\vec{OA}+\lambda%20\vec{AB} +\mu\vec{AC}
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{OA} ist der Ortsvektor des Punktes A, http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{AB} der Verbindungvektor von A nach B (AB=OB * OA), entsprechend AC)

Normalenform
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{n}\cdot\vec{x}=c
Wobei n das Kreuzprodukt bzw Vektorprodukt von AB und AC ist (Formelsammlung!)
x ist der Ortsvektor irgendeines Punktes in der Ebene
c errechnet sich aus dem Skalarprodukt (Formelsammlung) von http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{n} und http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{x}, wobei du natürlich einen beliebigen Punkt einsetzt.

Koordinatenform
n1*x1 + n2*x2 + n3*x3 = c
Die Werte übernimmst du einfach aus der Normalenform...

Eine typische Aufgabe wäre es, dass du 3 Punkte hast (bzw einen Punkt und eine Gerade) und daraus Parameterdarstellung und Normalen-oder Koordinatenform einer Ebene bestimmen sollst, die das alles enthält.

Man nehme die Punkte A, B und C.
Als erstes bestimmt man die Parameterdarstellung der Ebene.
http://latex.codecogs.com/gif.latex?E:%20\vec{x}=\vec{OA}+\lambda%20\vec{AB} +\mu\vec{AC}
Daraus dann mit dem Vektorprodukt zunächst den Normalenvektor
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{n}=\vec{AB}%20x%20\vec{AC} (Das Kreuz/X nicht mit einem Mal-Zeichen verwechseln)
Jetzt nimmt man sich einen Punkt aus der Ebene, dessen Ortsvektor man hat. Da man eine Ebene mit A,B und C bestimmen soll, nimmt man natürlich einen von denen. Aus http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{n}
und dem Ortsvektor bildet man das Skalarprodukt und erhält eine Zahl c.
So hat man dann die Normalenform.
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{n}%20\cdot%20\vec{x}%20=%20c
Sollst du die Koordinatenform bestimmten, schreibst du einfach aus.

Erhälst du zB
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\begin{pmatrix}1\\%202\\%203\end{pmatrix }%20\cdot%20\vec{x}=5
ist die Koordinatenform
1*x1 + 2*x2 + 3*x3 = 5

Im Anschluss soll man gerne nochmal gucken, ob ein Punkt in der Ebene liegt.
Einfach den Ortsvektor des Punktes für http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{x} einsetzen und schauen, ob die Gleichung dann noch aufgeht.

Oder aber auch, ob eine Gerade
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g:%20\vec{x}=OP%20+%20\alpha\vec{PQ}
die Ebene schneidet und vor allem WO.
Dafür setze man die Ebene gleich der Geraden
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{OP}%20+%20\alpha\vec{PQ}%20=%20\vec {OA}%20+%20\lambda\vec{AB}%20+%20\mu\vec{AC}
Macht sich daraus eine Matrix bzw ein LGS.
Entweder bekommt man dann für http://latex.codecogs.com/gif.latex?\alpha, http://latex.codecogs.com/gif.latex?\lambda und http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mu genau einen Wert raus, den setzt man dann in die Ebene bzw Gerade ein und erhält den Schnittpunkt, es gibt für keinen der Werte eine Lösung, dann ist die Gerade parallel zur Ebene oder man erhält unendliche viele Lösungen, dann liegt die Gerade in der Ebene.

Genauso verhält es sich bei Lagebeziehungen zwischen Ebenen, nur dass man statt einem Schnittpunkt eine Schnittgerade erhält, die als Parameter den übrig gebliebenen Parameter hat (3 Gleichungen, 4 Unbekannte, ein bleibt übrig).

Um zu gucken, ob eine Gerade oder Ebene parallel zu einer anderen ist, schaut man, ob der Normalenvektor ebenfalls rechtwinklig zu eben dieser Geraden/Ebene ist. Ist er es, sind sie parallel (=mit Abstand) oder identisch bzw die Gerade liegt in der Ebene (=ohne Abstand) (dafür dann eine Punktprobe).

Wichtig ist wohl auch noch, den Abstand berechnen zu können.
Dafür nimmt man sich die Formelsammlung oder mein überragendes Gedächtnis :D und erhält eine Formel
http://latex.codecogs.com/gif.latex?Abstand%20=%201/\left%20|%20\vec{n}%20\right%20|%20\cdot%20\left%2 0|%20\vec{n}\cdot\vec{OP}-c%20\right%20|
c ist hierbei das c aus der Normalen-/Koordinatenform, http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{n} der Normalenvektor der Ebene und OP der Ortsvektor des Punktes. Hast du keinen Punkt, nimmst du dir einfach einen aus der Gerade oder der Ebene.
Da die Gerade/Ebene sich entweder mit deiner Ebene schneidet oder parallel ist, ist der Abstand entweder 0 oder für alle Punkte gleich, also nimm einfach einen, nachdem du herausgefunden hast, ob es einen Schnittpunkt/eine Schnittgerade gibt.

Jetzt habe ich keine Lust mehr, du liest das wahrscheinlich eh nicht durch.

Mr. Nice Guy

26-04-2009, 19:03

Budoka_Dante

26-04-2009, 19:05

Ich finde es etwas daneben Normalenform und Koordinatenform als getrennt zu betrachten. Das ist ein und die Selbe Darstellung, nur dass das kanonische Skalarprodukt bei dem einen ausgeführt wurde und bei dem anderen eben nicht...

Ist ja an sich praktisch das Selbe, aber zumindest bei uns verlangt das Kultusministerium, dass die Dinger im Schulunterricht als getrennte Formen betrachtet werden...

chillakilla

26-04-2009, 19:12

Danke Bodo :thx: Hab schon mal alles überflogen und werd darauf morgen näher eingehen, wenn ich Ana Geo lerne. Hast du das alles aus dem Kopf gewusst?:ups:

@mr. nice guy: Können wir auch nicht ändern. Wir tun einfach das was der Lehrplan vorgibt und hoffen irgendwie durchzukommen.

Budoka_Dante

26-04-2009, 19:15

Danke Bodo :thx: Hab schon mal alles überflogen und werd darauf morgen näher eingehen, wenn ich Ana Geo lerne. Hast du das alles aus dem Kopf gewusst?:ups:
Na klar doch. Da ist nochmal in etwa so viel Funktiondiskussionsdingens und bisschen allgemeiner Analysiskram drin, dafür aber praktisch keine beschreibende Statistik :D
Sei lieber froh, dass du mich nicht nach Reaktionsmechnismen in der organischen Chemie gefragt hast.
Da hätte ich Grafiken nämlich mit Paint malen müssen :o