Ich würde vorschlagen, im Frühjahr zu kommen, wenn es noch nicht ganz so heiss ist und der Norden mit seinen Blumenwiesen wirklich schön ist.
Der Winter kann sehr verregnet sein, sowas will man sich als Deutscher ja normalerweise im Urlaub ersparen
Was möchtest du konkret sehen, so allgemein ist es schwer, Empfehlungen zu geben.
Ich würde vorschlagen, generell in Tel Aviv zu wohnen und dann Ausflüge nach J'lem, Totes Meer, Haifa, Akko, Galilee usw zu machen, evtl für ein paar Tage nach Eilat am Roten Meer (die Stadt selbst ist grauselig, daher nicht länger als ein Wochenende bleiben, um tauchen halt).
Hotels sind hier nicht unbedingt billig, es gibt aber überall Hostels, wenn das was für dich ist (Schlafhalle für etwa 15-20 Euro pro Nase und Nacht).