Rechenaufgabe Fördermenge Wasser

[Pflöte]

Gemäß der Aufgabenstellung gibt es auch keine 50/50-Wahl zwischen den beiden Teilstücken. Die beiden zufälligen Brüche beziehen sich auf den gesamten Stock. Entsprechend dem Längenverhältnis beider Stücke verteilt sich die Wahrscheinlichkeit für die Lage des zweiten Bruchs.

Gibt es nach dem ersten Bruch eine neuerliche, zufällige Entscheidung zwischen beiden Teilstücken, so verringert sich die Wahrscheinlichkeit ein Dreieck zu erhalten.

[Pansapiens]

Nehmen wir an der Stock misst 1m und die Brüche können in mm-Abständen gesetzt werden (also 999 mögliche Stellen für einen Bruch), dann gibt es 498501 verschiedene Möglichkeiten zwei Brüche zu setzen. Davon ergeben 124251 ein Dreieck, was knapp knapp über 25% der Gesamtmöglichkeiten entspricht. Erhöhen wir die Anzahl der möglichen (gleichmäßig verteilten) Bruchstellen, nähert sich das Verhältnis immer weiter der 25%-Marke. Somit schlage ich mich auf Inumegs Seite.

Wobei ich jetzt schnöde duchgezählt habe, eine logische Herleitung wäre mir natürlich lieber.

(Hoffe, die Zahlen stimmen. )

hier mein Vorschlag.
Ob das in Deinem Sinne "logisch" ist, weiß ich nicht....

Ein Stab der Länge L wird an den Stellen x und y gebrochen:



(y>x)

es ergeben sich Teilstücke a, b, c.
Ich betrachte nun die Bedingungen dafür, dass kein Dreieck bildbar ist.
Das bedeutet das a, b oder c >= L/2 (ob nun echt größer oder größer gleich, scheint mir nicht in's Gewicht zu fallen)

1.) a >= L/2, also x mindestens L/2

x kann Werte zwischen L/2 und L annehmen, y kann Werte zwischen x und L annehmen:



2.) b >= L/2, der Abstand zwischen den beiden Bruchstellen x und y also mindestens L/2

x kann Werte zwischen 0 und L/2 annehmen, y kann Werte zwischen x + L/2 und L annehmen:



3.) c >= L/2
y darf maximal L/2 groß werden, x kann Werte von 0 bis y annehmen:



Die Anzahl der Bruchmöglichkeiten ist, wie Du ja auch geschrieben hast, der Länge der Teilstücke proportional. Der Proportionalfaktor hängt davon ab, wie fein man brechen kann. Ich gehe mal davon aus, dass ich beliebig fein brechen kann und setze den Proportionalitätsfaktor = 1.

Wie viele Möglichkeiten habe ich, den Stab zu zerteilen?
Dazu muss ich für jedes mögliche x die Anzahl der möglichen y aufsummieren und dann die Gesamtsumme bilden.
Bei einer kontinuierlichen Verteilung unendlich kleiner Teilstücke wird die Summe zum Integral.
Damit ergibt sich als

M_G: Anzahl möglicher Kombinationen von zwei Brüchen:

x kann Werte zwischen 0 und L annehmen, y für ein gegebenes x Werte zwischen x und L:
(Das jeweils zweite Integral steht "innerhalb" des ersten, auch wenn ich das Differential des ersten davor geschrieben habe)



L²/2
(Das 1/2 kommt von der Einschränkung y>x. Sonst hätte man für x L Möglichkeiten und für y L Möglichkeiten, also ingesamt L² Kombinationen.
Die Brüche für y<x finden sich allerdings in den Brüchen für y>x wieder und umgekehrt, nur eben die Benennung der Bruchstelle vertauscht).

M₁ : Anzahl der möglichen Brüche, bei denen a>=L/2:
x kann Werte zwischen L/2 und L annehmen, y für ein gegebenes x Werte zwischen x und L:



M₂ : Anzahl der möglichen Brüche, bei denen b>=L/2:
Zwischen x und y muss ein Abstand von mindestens L/2 sein. D.h. da L der maximale Wert für y ist, kann x höchstens L/2 groß werden.
x kann also Werte zwischen 0 und L/2 annehmen, y für ein gegebenes x Werte zwischen x + L/2 und L:



M₃ : Anzahl der möglichen Brüche, bei denen c>=L/2:

c ist der Abstand zwischen y und L, daher kann y maximal L/2 groß werden.
y kann also Werte zwischen 0 und L/2 annehmen und x kann für ein gegebenes y Werte zwischen 0 und y annehmen:



Auf die drei Bedingungen kein Dreieck zu bilden, entfallen also jeweils 1/4 der Möglichkeiten, den Stab in drei Teile zu zerbrechen, d.h. in dem restlichen 1/4 der Fälle kann man ein Dreieck bilden.



(bei überabzählbar unendlichen Mengen von "Anzahl" zu sprechen ist natürlich etwas unsauber)

[Pansapiens]

Fall 2:
Ich setze den ersten Bruch (x) beliebig und dann den zweiten (y) in das größere Teilstück.
Der erste Bruch teilt den Stab in zwei Teile, von denen eines größer ist.
Da kann ich nun IMO wieder nur die Fälle betrachten, bei denen der erste Bruch (x) zwischen 0 und L/2 gesetzt wird.
Dann fällt mit der Bedingung y>x der zweite Bruch y automatisch in das größere Teilstück.
(Würde ich x > L/2 betrachten, müsste ich y<x zulassen, bzw. das größere Teilstück wäre links von x und y nach der Wahlbedingung kleiner x.)
Ich habe nun also die Bedingung a = x <= L/2:
(im Bild steht fälschlicherweise"b = x <= L/2" gemeint ist aber a)



Damit fällt die erste Bedingung für "kein Dreieck bildbar" aus Fall 1 weg (a=x>=L/2) und es bleiben die beiden Bedingungen:

b>=L/2 und c>=L/2:



Durch die Beschränkung, den zweiten Bruch in das größere Teilstück des ersten Bruchs zu setzen, bzw. für x nur noch Werte zwischen 0 und L/2 zuzulassen, verringern sich die Bruchmöglichkeiten insgesamt um 1/4:



Die Möglichkeiten, kein Dreieck zu bilden, bleiben für die beiden verbleibenden Bedingungen für "kein Dreieck bildbar" einzeln betrachtet absolut gleich, relativ auf das nun kleinere M_G, werden die größer (statt 1/4M_G nun jeweils 1/3M_G.



Da es allerdings nur noch zwei Bedingungen sind, ist die Wahrscheinlichkeit, kein Dreieck bilden zu können, nun insgesamt kleiner.
Damit wäre die Wahrscheinlichkeit, kein Dreieck bilden zu können, 2/3 und damit die Gegenwahrscheinlichkeit, eines bilden zu können, 1/3
So wie von Inumeg für richtig befunden.

[Pflöte]

Ich danke dir für deine Mühe. Ich muss aber zugeben, dass ich das nicht auf die Schnelle nicht überprüfen kann. Dazu muss ich bei Gelegenheit erst ein Mathebuch aus dem Regal nehmen...

[angHell]

Oh Mann Pansapiens, ich hatte es schon immer vermutet, dass Deine Profession irgendwas mathematisches ist... Liege ich richtig!?

[Kensei]

Ich tippe ja immernoch auf Philosophie und Logik. Oder beides kombiniert mit Mathe.

Hut ab für die Herleitung.

[Pflöte]

Das sollte Abiturwissen sein, zumindest sollte man die Ausführungen damit nachvollziehen können. Leider hatte ich in meiner Oberstufenzeit deutlich andere Prioritäten gesetzt, als mich mit Unterrichtsstoff zu beschäftigen.

[Kensei]

Dito. Und wenn, dann doch eher Mathe Leistungskurs.

Nachvollziehen und herleiten sind auch immer noch zwei Paar Schuhe.

[Inumeg]

Hier gibt's eine etwas leichter nachzuvollziehende Lösung: https://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=234768

[Gast]

Hier gibt's eine etwas leichter nachzuvollziehende Lösung: https://www.matheplanet.com/default3.html?call=viewtopic.php?topic=234768

Die hatte ich schon weiter vorne gepostet.

[Inumeg]

Die hatte ich schon weiter vorne gepostet.

Als ob ich hier anderer Leute Antworten lesen würde

[Gast]

Als ob ich hier anderer Leute Antworten lesen würde

Ist ja auch mühselig sich da durchzubeißen, besonders bei solchen laaangen Fäden wie dem hier

[Pansapiens]

Ich danke dir für deine Mühe. Ich muss aber zugeben, dass ich das nicht auf die Schnelle nicht überprüfen kann. Dazu muss ich bei Gelegenheit erst ein Mathebuch aus dem Regal nehmen...

Was ist ein "Buch"?

...egal, man kann lineare Funktionen auch grafisch "integrieren".

Fall 1:

Ausgangspunkt war, einen Stab der Länge L mit zwei Brüchen an den beliebig gewählten Stellen x und y in drei Teile der Längen a, b, c zu teilen:



Ein Dreieck kann man, wie hier schon fest gestellt wurde, nicht bilden, wenn eine der drei Seiten a, b oder c mindestens so lang ist, wie die Hälfte des Stabs (L/2),
also wenn eine der folgenden drei Bedingungen erfüllt ist:



Damit man ein Dreieck bilden kann, darf keine der Bedingungen erfüllt sein.


(Ich habe mich dabei auf Fälle beschränkt, bei denen x<y. Da kommt es nun drauf an, woran man eine Dreickszerteilung von einer anderen unterscheidet:
Nur anhand der entstandenen Bruchstücke oder auch in der Reihenfolge, in der man die Brüche setzt?
Falls Letzteres, müsste man auch Fälle x>y betrachten. Man kann sich aber überlegen, dass da die gleichen Bruchstücke rauskommen.
Da es bei der Wahrscheinlichkeit nur auf die Verhältnisse ankommt und nicht auf die absolute Zahl der Möglichkeiten, scheint mir die Beschränkung auf x<y nichts am Ergebnis zu ändern.)


Zu jedem Bruch an Stelle x gibt es eine bestimmte Anzahl zulässige Bruchstellen y.
Wenn ich y von x unabhängig betrachte, ist die Anzahl der möglichen y für jedes x gleich und nur durch die Länge des Stabes vorgegeben.
Die Anzahl der Möglichkeiten für x ist L proportional und für jedes x gibt es nochmal proportional zu L Möglichkeiten für y.
(im Weiteren lass ich das "proportional zu" weg und spreche nur noch von "L Möglichkeiten". "L² Möglichkeiten" etc..)

Wenn man x nach rechts aufträgt und y nach oben, liegen die möglichen Kombinationen der Bruchstellen x und y in einem Quadrat mit der Seitenlänge L und der Fläche F=L² und es gibt L² Möglichkeiten.
Mit der Einschränkung y>x wird davon nur der Teil über der Gerade y=x zugelassen:



Dann kommt die erste Bedingung, damit ein Dreieck gebildet werden kann: Die linke Bruchstelle x muss weniger als L/2 vom linken Stabende entfernt sein.
a = x < L/2
Damit werden nur noch Kombinationen von x und y zugelassen, die links der Gerade x = L/2 liegen:



(Intuitiv hätte man vielleicht gedacht, wenn ich nur noch die Hälfte der x zulasse, habe ich nur noch die Hälfte der ursprünglichen Möglichkeiten.
Das ist aber falsch, denn durch die Einschränkung x<y es für kleine x mehr mögliche y, als für große x.
Daher hat man noch 3/4 der ursprünglichen Möglichkeiten.)

Die zweite Bedingung, damit ein Dreieck gebildet werden kann: die beiden Bruchstellen x und y müssen näher als L/2 beieinander liegen:
b = y-x <L/2 => y < x + L/2
Damit werden nur noch Kombinationen von x und y zugelassen, die unterhalb der Gerade y = x + L/2 liegen und die "Anzahl" der Möglichkeiten reduziert sich um weitere 25% des Ausgangswertes:



Nun noch die dritte Bedingung: die rechte Bruchstelle y darf nicht weiter vom rechten Ende des Stabes entfernt gesetzt werden, als L/2, damit auch das Teilstück c kürzer als die Hälfte des Stabes ist:
c = L-y < L/2 => -y < -L/2 => y > L/2
Damit werden nur noch Kombinationen von x und y zugelassen, die oberhalb der Gerade y = L/2 liegen und die Anzahl der Möglichkeiten reduziert sich um weitere 25% des Ausgangswertes:



Es bleibt nur noch ein Viertel der ursprünglichen Möglichkeiten übrig.
Die anderen drei Viertel entfallen auf Bruchkombinationen, bei denen als Ergebnis eines der drei Teilstücke länger ist, als die halbe Stablänge:



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Fall 2:

Ich entscheide mich nach dem ersten Bruch dafür, den zweiten Bruch in das größere verbleibende Teilstück zu setzen.
Der Einfachheit halber nenne ich die erste Bruchstelle x.
Wenn x < L/2 setze ich den zweiten Bruch y rechts von x. Das ist dann wieder die oben gewählte Einschränkung x < y.
Für x > L/2 wäre y links von x, also y<x.
Dabei kommen im Prinzip die gleichen Bruchstücke raus, nun nur vom anderen Ende des Stabes aus betrachtet.
Da es nur auf die relativen Verhältnisse der Möglichkeiten ankommt, kann man sich IMO also auf x <y beschränken.

Damit hat man nun gegenüber Fall 1 die weitere Einschränkung x < L/2 womit sich die Anzahl der möglichen Bruchkombinationen gegenüber Fall 1 um ein Viertel verringert. Das Viertel, das wegfällt, sind die Bruchkombinationen, bei denen Teilstück a mindestens so lang ist, wie die Hälfte des Stabes und daher kein Dreieck gebildet werden kann.
Damit gibt es gleich viele Kombinationen, ein Dreieck zu bilden, wie in Fall 1 aber nur 3/4 der ursprünglichen Bruchkombinationen von Fall 1.
Dadurch steigt die Wahrscheinlichkeit, ein Dreieck bilden zu können auf (1/4)/(3/4) = 1/3:

[Pflöte]

Leider bekomme ich die von dir eingefügten Bilder nicht nicht angezeigt.

[Pansapiens]

Leider bekomme ich die von dir eingefügten Bilder nicht nicht angezeigt.

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hab sie neu eingefügt, sind die jetzt zu sehen?