Zur Haftung im Verein:

Die so genannte Sportversicherung gilt für den Verein und dessen Mitglieder bei satzungsgemäßer Tätigkeit im Rahmen versicherter Veranstaltungen. Dazu zählen sowohl der Wettkampf wie auch das Vereinstraining, die Mitgliederversammlung und sämtliche Vereinsfeste.
Die Versicherung des Sportvereins tritt meist für alle aktiven und passiven Vereinsmitglieder sowie ehrenamtliche oder hauptamtlich tätige Mitarbeiter, alle Übungsleiter, Trainer, Schieds- und Kampfrichter sowie Helfer bei versicherten Veranstaltungen ein.

Passiert ein Unfall, so muss dieser umgehend dem Verein gemeldet werden, der dann sofort seine Versicherung darüber informiert. Parallel ist die eigene Kranken- und Zusatzversicherung von dem Sportunfall in Kenntnis zu setzen, unter Angabe der Versicherung des Vereins. Die Aufteilung der Kosten klären die Versicherungen untereinander. Das ist ein interner Vorgang ohne Nachteile für Dich selbst. Die gesetzliche Unfallversicherung zahlt bei Sportunfällen in der Freizeit nicht.

Fraglich bei Zahnschutz ist übrigens, ob ein Trainer die Wirksamkeit überhaupt einschätzen kann:
Bei Kampfsportarten, bei denen das Tragen eines Zahnschutzes im Wettkampf obligatorisch ist, konnte in Untersuchungen gezeigt werden, dass der Zahnschutz oft noch nicht einmal die Minimalanforderungen erfüllt: keine okklusale Abstützung, zu dünn, falsch angefertigt, durchgebissen, mikrobiologisch inakzeptabel oder im Seitenzahnbereich abgeschnitten .... Der Kampfrichter überprüft zu Beginn des Kampfes nur, ob ein Zahnschutz im Mund ist. Dessen Qualität soll und kann er nicht kontrollieren.

Beim BJJ Training sind nirgendwo Zahnschutz o.ä. gesetzlich vorgeschrieben, also haftet ein Trainer auch nicht für Unfälle.